Invariant Measures and Stiffness for Non Abelian Groups of Toral Automorphisms

Let Γ be a non-elementary subgroup of SL2(Z). If μ is a probability measure on T which is Γ-invariant, then μ is a convex combination of the Haar measure and an atomic probability measure supported by rational points. The same conclusion holds under the weaker assumption that μ is ν-stationary, i.e. μ = ν ∗ μ, where ν is a finitely supported probability measure on Γ whose support supp(ν) generates Γ. The approach works more generally for Γ < SLd(Z). Resume. Soit Γ un sous-groupe non-élementaire du groupe SL2(Z). Soit μ une measure de probabilité Γ-invariante sur le tore T. On démontre que μ est une moyenne de la mesure de Haar et une probabilité discrète portée par des points rationnels. La même conclusion reste vrai sous l’hypothèse que μ est ν-stationnaire, done μ = ν ∗ μ, où ν est une probabilité sur Γ à support fini et engendrant Γ. L’approche se généralise aux sous-groupes Γ de SLd(Z).